Calcul d'un taux de variation

On parle plus souvent d'un taux de croissance que d'un taux de variation. Cependant, un taux de croissance ne veut pas dire qu'il y nécessairement croissance, il peut aussi y avoir décroissance de la valeur de la variable en question, il serait donc bien approprié de parler d'un taux de variation.

Un taux de variation sert à exprimer la variation des valeurs d'une variable dans le temps :

        Variation des valeurs d'une variable. 

Les variables en question concernent souvent des grandeurs macroéconomiques, elles peuvent être le PIB, l'inflation, le chômage, les importations, les investissements, les dépenses publiques. Mais bien sûr le calcul d'un taux de variation est aussi calculé pour une entreprise qui évaluera la variation de son chiffre d'affaires, pour un ménage qui calculera l'évolution de ses revenus et des taxes que le gouvernement lui impose. En dehors des sciences économiques on calculera aussi le taux de variation des températures par exemple, ou encore le taux de variation de la moyenne d'un trimestre à l'autre.

        Dans le temps.

Le temps peut être une journée, un mois, un trimestre, un an, un siècle, bien qu'en général on calculera surtout la variation d'une valeur d'une année à l'autre.

Exercice n°1

Les importations de Noland en volume en dollars de l'année 2000 furent de 2,65 millions de dollars en 2003 et de 2,92 millions de dollars, quel est leur taux de variation entre 2003 et 2004 ?

[(Importations en 2004 - Importations en 2003)/Importations en 2003] x 100 = [ (2,92 millions - 2,65 millions)/2,65 millions] x 100 = 10,19 %

Exercice n°2

 Les exportations de Noland en volume en dollars de l'année 2000 furent de 3,12 millions de dollars en 2003 et de 2,59 millions de dollars, quel est leur taux de variation entre ces deux dates ?

[(2,59 millions - 3,12 millions)/3,12 millions] x 100 = - 16,99 %

Exercice n°3

On sait que les importations de Noland furent de 2,65 millions de dollars en 2003 et que leur taux de variation fut de 10,19 %, quelle formule utiliser pour retrouver le montant des importations de 2004 ?

On part donc d'un montant d'importations de 2,65 millions de dollars, on sait qu'en 2004 le montant de ces importations a augmenté de 10,19 % de 2,65 millions de dollars, ce qui nous donne 2,65 millions + [2,65 millions x (10,19/100)], il suffit ici de mettre en facteur 2,65 millions pour obtenir :

                                2,65 millions x (1 + 0,1019) = 2,65 millions x (1,1019) = 2,92 millions

Il suffit de vérifier avec l'exercice n°1 que l'on a trouvé le bon résultat, on en déduit qu'un taux de variation de 10,19 % s'obtient en multipliant la valeur de départ par 1 + le taux de variation. On appellera donc (1 + le taux de variation) le coefficient multiplicateur, celui-ci est aussi égal à (valeur d'arrivée/valeur de départ).

Exercice n°4

On sait que les exportations de Noland furent de 3,12 millions de dollars en 2003 et que leur taux de variation fut de - 16,99 %, quelle formule utiliser pour retrouver le montant des importations de 2004 ?

La difficulté apparente ici est que le taux de variation est négatif, mais on sait qu'en multipliant 3,12 millions par le coefficient multiplicateur on devrait retrouver le montant en volume des importations de 2004. Le coefficient multiplicateur = 1 + (- 0,1699) = 0,8301, donc 3,12 millions x 0,8301 = 2,59 millions.

Exercice n°5

Le taux de variation du PIB du Japon est de 1,9 % en 1997, de - 1,1 % en 1998, de 0,2 % en 1999, de 2,8 % en 2000, de 0,4 % en 2001, de 0,2 % en 2002 et de 2,1 % en 2003, quelle est l'augmentation du PIB japonais entre le premier janvier 1997 et le premier janvier 2004 ?

Attention :

Ici on serait tenté d'additionner les taux de variation, avant de répondre prenons un exemple simple afin de voir si l'on peut additionner ces taux. Supposons qu'en l'année n le PIB de Noland soit de 20 millions de dollars, il augmente ensuite de 10 % pour passer à 22 millions de dollars à l'année n+1 puis de 5 % pour un PIB de 23,1 millions de dollars en n+2. Si on additionne les taux de variation pour mesurer l'augmentation du PIB de l'année n à l'année n+2, on suppose alors que pour retrouver 23,1 millions de dollars il faille augmenter 20 millions de dollars de 15 %. Or 20 millions x 1,15 = 23 millions. Nous ne sommes pas loin du résultat recherché mais il semble que la méthode de l'addition ne soit pas la bonne.

Essayons encore : à partir des mêmes valeurs, supposons en n+1une augmentation de 100 % du PIB, nous obtenons 40 millions de dollars, une nouvelle augmentation de 100 % du PIB en n+2 nous donne un PIB de 80 millions de dollars. Si l'on part du PIB de l'année n et que l'on additionne les taux de variation, nous trouvons un taux de 200 %, donc 20 millions x (1+2) = 60 millions, nous sommes là loin du résultat.

On ne peut donc déterminer un taux de variation en additionnant les  taux de variation intermédiaires, effectivement les pourcentages de variation s'appliquent à des variables qui évoluent  : ainsi 10 % de 20 millions < 10 % de 22 millions, en calculant 20 % de 20 millions on restera donc en deça de la valeur recherchée. Or  plus les taux de variations entre les valeurs sont importants plus l'erreur que nous commettons en additionnant les taux est importante.

La méthode qui convient serait donc celle qui consiste à multiplier les coefficients multiplicateur.

Voyons si cela fonctionne pour le PIB de Noland pour les deux hypothèses de croissance ci-dessus :

                    20 millions x 1,1 x 1,05 = 23,1 millions ;

                    20 millions x 2 x 2 = 80 millions.

La méthode est bien la bonne, il nous est donc possible de calculer ainsi l'augmentation du PIB japonais entre 1996 et 2203.

Calcul du coefficient multiplicateur entre ces deux dates :

(1 + 0,019) x (1 - 0,011) x (1 + 0,002) x (1 + 0,028) x (1 + 0,004) x (1+ 0,021) = 1,019 x 0,989 x 1,002 x 1,028 x 1,004 x 1,021 = 1,064

Pour passer du coefficient multiplicateur au taux de variation il suffit d'enlever 1, le taux de variation est donc de 1,064 - 1 = 0,064 soit 6,4 %

Exercice n°6

La croissance du PIB de Noland entre le premier janvier 1996 et le premier janvier  2000 fut de 12 %, quel est son taux moyen annuel de croissance ?

Afin de  répondre à cette question déterminons le nombre de périodes entre ces deux dates : pour obtenir le PIB au premier janvier 2000 il faut partir du PIB au premier janvier 1996 que l'on multiplie par le coefficient multiplicateur de 1996, puis par celui de 1997, celui de 1998 et enfin celui de 1999. On considère donc 4 périodes au terme desquelles on obtient un coefficient multiplicateur de 1 + 0,12 soit 1,12. Appelons r le taux moyen annuel de croissance, on doit alors résoudre l'équation suivante :

(1+r) x (1+r) x (1+r) x (1+r) = 1,12  

=> (1+r)⁴ = 1,12 => 1+r = ⁴√1,12  => r = ⁴√1,12 - 1 => r = 1,0289 - 1 = 0,0289 = 2,89 %.

Exercice n°7

La Chine possède un taux moyen de croissance annuel de 8 %, combien de temps lui faut-il à ce rythme pour doubler son PIB ?

Le doublement du PIB correspond à un taux de variation de 100 % donc à un coefficient multiplicateur de 1 + 1 = 2.

On doit donc résoudre l'équation suivante : (1,08)ⁿ = 2  => 1,08 = ⁿ√2, ici il va falloir tâtonner avec la calculatrice jusqu'à trouver n ≈ 9

Il faut donc 9 ans aux Chinois pour doubler leur PIB.